---

1.3 Durchschnittsgeschwindigkeit

Bei einer gleichförmigen Bewegung entspricht die Durchschnittsgeschwindigkeit der Momentangeschwindigkeit des Körpers, denn seine Geschwindigkeit ändert sich nicht.
Die Durchschnittsgeschwindigkeit wird also erst relevant, wenn sich ein Körper nicht gleichförmig bewegt.

Beispiel:
Fährt ein Auto eine Stunde lang auf der Autobahn mit \( 130 \frac{ km }{ h } \) und danach eine weitere Stunde mit \( 70 \frac{ km }{ h } \) über die Landstraße, so ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit der Mittelwert der beiden Geschwindigkeiten.

Es gilt also: $$ \overrightarrow{ v_\varnothing } = \frac{ \overrightarrow{s_1} + \overrightarrow{s_2} + ... + \overrightarrow{s_n} }{ t_1 + t_2 + ... + t_n } $$

Man unterscheidet zwischen dem harmonischen (1) und dem arithmetischen (2) Mittelwert. Der harmonische Mittelwert bezieht sich auf die zurückgelegte Strecke und der arithmetische Mittelwert auf die benötigte Zeit. Die folgenden Formeln entstehen durch Umformung von \( \overrightarrow{v} = \frac{ \overrightarrow{s} }{ t } \).

$$ ( 1 ) \space \overrightarrow{ v_\varnothing } = \frac{ \overrightarrow{s_1} + \overrightarrow{s_2} + ... + \overrightarrow{s_n} }{ \frac{ \overrightarrow{s_1} }{ \overrightarrow{v_1} } + \frac{ \overrightarrow{s_2} }{ \overrightarrow{v_2} } + ... + \frac{ \overrightarrow{s_n} }{ \overrightarrow{v_n} } } $$ $$ ( 2 ) \space \overrightarrow{ v_\varnothing } = \frac{ t_1 \cdot \overrightarrow{v_1} + t_2 \cdot \overrightarrow{v_2} + ... + t_n \cdot \overrightarrow{v_n} }{ t_1 + t_2 + ... + t_n } $$

---

Aufgaben:

1.)
Ein Auto fährt eine Strecke hin mit \( 50 \frac{ km }{ h } \) und zurück mit \( 150 \frac{ km }{ h } \). Ermitteln sie die Durchschnittsgeschwindigkeit des Autos (in \( \frac{ km }{ h } \)).

Tipp Nr.1:
Berücksichtigen sie die Einheit der Geschwindigkeit.

Tipp Nr.2:
Die Hinfahrt dauert \( \frac{ 1 }{ 3 } \) so lange, wie die Rückfahrt.

Lösung:
Das Auto benötigt für die Rückfahrt demnach drei Mal so lange wie fü die Hinfahrt.
Hier ist die Umwandlung in \( \frac{ m }{ s } \) nicht zwingend nötig, da alle Angaben in \( km \) bzw. in \( h \) gegeben sind und eine Umwandlung nicht explizit gefragt ist. $$ \overrightarrow{ v_1 } = 50 \frac{ km }{ h } ; \space \overrightarrow{ v_2 } = 150 \frac{ km }{ h } $$ $$ \overrightarrow{ v_1 } = \frac{ 50 km }{ 1 h } = \frac{ 150 km }{ 3 h } $$ $$ \overrightarrow{ v_\varnothing } = \frac{ 150 km + 150 km }{ 3 h + 1 h } = 75 \frac{ km }{ h } $$

Lösung:
\( \frac{ km }{ h } \)

↑ Zurück zum Anfang ↑